{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Kapitel 12: Optimierung unter Unsicherheit — Monte-Carlo, Stochastik, Robustheit\n", "\n", "Begleitnotebook zu *Optimierte Entscheidungsfindung mit Python*. Die Codezellen sind identisch mit den im Buch abgedruckten Programmen.\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Einmalig ausfuehren: installiert alle im Buch verwendeten Pakete.\n", "# Lokal in einer virtuellen Umgebung genauso gueltig wie in Google Colab.\n", "%pip install --quiet ortools highspy cvxpy scipy numpy pandas polars \\\n", " scikit-learn matplotlib plotly pyomo linopy pymoo pydantic openpyxl" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Der Fluch des Durchschnitts\n", "\n", "`Fluch_des_Durchschnitts.py`\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#!/usr/bin/env python3\n", "\n", "# Fluch_des_Durchschnitts.py\n", "\"\"\"\n", "Kapitel Unsicherheit: Der Fluch des Durchschnitts (die Handrechnung dazu) als Scan ueber alle\n", "moeglichen Kapazitaeten - zeigt, dass das Optimum nicht beim Mittelwert liegt.\n", "\"\"\"\n", "\n", "import numpy as np\n", "\n", "SZENARIEN = np.array([100, 250, 500])\n", "WAHRSCHEINLICHKEITEN = np.array([0.5, 0.3, 0.2])\n", "PREIS_VORAB = 40.0\n", "PREIS_ZUKAUF = 120.0\n", "PREIS_VERWALTUNG = 5.0\n", "\n", "ERWARTUNGSWERT = float(SZENARIEN @ WAHRSCHEINLICHKEITEN)\n", "\n", "\n", "def erwartete_kosten(x):\n", " kosten = np.where(\n", " SZENARIEN >= x,\n", " PREIS_VORAB * x + PREIS_ZUKAUF * (SZENARIEN - x),\n", " PREIS_VORAB * x + PREIS_VERWALTUNG * (x - SZENARIEN),\n", " )\n", " return float(kosten @ WAHRSCHEINLICHKEITEN)\n", "\n", "\n", "if __name__ == \"__main__\":\n", " print(\"=\" * 70)\n", " print(\" DER FLUCH DES DURCHSCHNITTS\")\n", " print(\"=\" * 70)\n", " print(f\"Erwarteter Bedarf (Mittelwert): {ERWARTUNGSWERT:.1f}\")\n", " print(f\"Kosten bei naiver Planung x={ERWARTUNGSWERT:.0f}: \"\n", " f\"{erwartete_kosten(ERWARTUNGSWERT):,.2f} EUR\\n\")\n", "\n", " x_werte = np.arange(0, 501, 1)\n", " kosten_werte = np.array([erwartete_kosten(x) for x in x_werte])\n", " x_optimal = x_werte[np.argmin(kosten_werte)]\n", " kosten_optimal = kosten_werte.min()\n", "\n", " print(f\"Optimales x (durch Scan gefunden): {x_optimal}\")\n", " print(f\"Kosten beim Optimum: {kosten_optimal:,.2f} EUR\")\n", " print(f\"Ersparnis gegenueber naiver Planung: \"\n", " f\"{erwartete_kosten(ERWARTUNGSWERT) - kosten_optimal:,.2f} EUR\\n\")\n", "\n", " print(\"Kosten fuer ausgewaehlte x zum Vergleich:\")\n", " for x in [100, 225, 250, 300, 500]:\n", " markierung = \" <- Mittelwert\" if x == 225 else (\" <- Optimum\" if x == 250 else \"\")\n", " print(f\" x={x:4d}: {erwartete_kosten(x):>12,.2f} EUR{markierung}\")\n", "\n", " print(\"\\nDas Optimum liegt exakt auf einem Szenariowert (250 = 'Volatil'),\")\n", " print(\"nicht beim Mittelwert 225 - typisch fuer asymmetrische Kostenfunktionen.\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Monte-Carlo-Simulation{idx:Monte-Carlo-Simulation}\n", "\n", "`Monte_Carlo.py`\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#!/usr/bin/env python3\n", "\n", "# Monte_Carlo.py\n", "\"\"\"\n", "Kapitel Unsicherheit: Monte-Carlo-Bewertung von Kapazitaetsplaenen.\n", "\n", "Monte Carlo OPTIMIERT nicht - es BEWERTET. Der Nutzen liegt darin, dass man\n", "beliebige Kennzahlen ablesen kann: Erwartungswert, Quantile, Ausfallwahr-\n", "scheinlichkeit, Worst Case. Genau diese Groessen braucht man, um zwischen\n", "Plaenen zu entscheiden.\n", "\"\"\"\n", "\n", "import numpy as np\n", "\n", "KOSTEN_VORAB = 40.0 # EUR je Einheit, im Voraus gekauft\n", "KOSTEN_SPOT = 120.0 # EUR je Einheit, kurzfristig zugekauft\n", "KOSTEN_LEERLAUF = 5.0 # EUR je ungenutzter Einheit\n", "\n", "ANZAHL_ZIEHUNGEN = 100_000\n", "\n", "\n", "def ziehe_bedarf(rng, ziehungen):\n", " \"\"\"\n", " Bedarfsmodell: Mischverteilung aus Normalbetrieb und seltenen Lastspitzen.\n", " Realistischer als eine reine Normalverteilung - Krisen sind selten,\n", " aber extrem (fat tail).\n", " \"\"\"\n", " normal = rng.normal(loc=150, scale=40, size=ziehungen)\n", " spitze = rng.normal(loc=450, scale=80, size=ziehungen)\n", " ist_spitze = rng.random(ziehungen) < 0.15 # 15 % Lastspitzen\n", " return np.maximum(np.where(ist_spitze, spitze, normal), 0.0)\n", "\n", "\n", "def kosten_fuer(kapazitaet, bedarf):\n", " \"\"\"Gesamtkosten je Szenario fuer eine gegebene Vorabkapazitaet.\"\"\"\n", " unterdeckung = np.maximum(bedarf - kapazitaet, 0.0)\n", " ueberdeckung = np.maximum(kapazitaet - bedarf, 0.0)\n", " return (KOSTEN_VORAB * kapazitaet\n", " + KOSTEN_SPOT * unterdeckung\n", " + KOSTEN_LEERLAUF * ueberdeckung)\n", "\n", "\n", "if __name__ == \"__main__\":\n", " rng = np.random.default_rng(2026)\n", " bedarf = ziehe_bedarf(rng, ANZAHL_ZIEHUNGEN)\n", "\n", " print(\"=\" * 88)\n", " print(f\" MONTE-CARLO-BEWERTUNG ({ANZAHL_ZIEHUNGEN:,} Szenarien)\")\n", " print(\"=\" * 88)\n", " print(f\"Bedarfsverteilung: Mittelwert {bedarf.mean():.1f} | \"\n", " f\"Median {np.median(bedarf):.1f} | \"\n", " f\"95%-Quantil {np.percentile(bedarf, 95):.1f} | \"\n", " f\"Maximum {bedarf.max():.1f}\")\n", " print(\"Der Median liegt deutlich unter dem Mittelwert - die Verteilung ist\")\n", " print(\"rechtsschief. Genau hier fuehrt Planung mit dem Mittelwert in die Irre.\\n\")\n", "\n", " print(f\"{'Kapazitaet':>10} | {'Erw. Kosten':>12} | {'Median':>10} | \"\n", " f\"{'95%-Quantil':>12} | {'Unterdeckung':>12}\")\n", " print(\"-\" * 88)\n", "\n", " kandidaten = [150, 200, 225, 250, 300, 350, 400]\n", " ergebnisse = []\n", " for kapazitaet in kandidaten:\n", " kosten = kosten_fuer(kapazitaet, bedarf)\n", " p_unterdeckung = float(np.mean(bedarf > kapazitaet))\n", " ergebnisse.append((kapazitaet, kosten.mean(), p_unterdeckung))\n", " print(f\"{kapazitaet:>10} | {kosten.mean():>12,.0f} | \"\n", " f\"{np.median(kosten):>10,.0f} | {np.percentile(kosten, 95):>12,.0f} | \"\n", " f\"{p_unterdeckung*100:>11.1f} %\")\n", "\n", " beste = min(ergebnisse, key=lambda t: t[1])\n", " print(\"-\" * 88)\n", " print(f\"Bester Kandidat: Kapazitaet {beste[0]} mit erwarteten Kosten \"\n", " f\"{beste[1]:,.0f} EUR\")\n", "\n", " # --- Feinsuche ueber ein Raster ---------------------------------------\n", " raster = np.arange(100, 500, 5)\n", " erwartete = np.array([kosten_fuer(k, bedarf).mean() for k in raster])\n", " optimum = raster[int(np.argmin(erwartete))]\n", " print(f\"Feinsuche (Raster 100..500): Optimum bei Kapazitaet {optimum}, \"\n", " f\"Kosten {erwartete.min():,.0f} EUR\")\n", "\n", " # --- Vergleich mit der naiven Mittelwertplanung ----------------------\n", " naiv = int(round(bedarf.mean()))\n", " kosten_naiv = kosten_fuer(naiv, bedarf).mean()\n", " kosten_opt = kosten_fuer(optimum, bedarf).mean()\n", " print(\"\\n--- Fluch des Durchschnitts, gemessen ---\")\n", " print(f\" Planung mit Mittelwert ({naiv}): {kosten_naiv:,.0f} EUR\")\n", " print(f\" Monte-Carlo-Optimum ({optimum}): {kosten_opt:,.0f} EUR\")\n", " print(f\" Mehrkosten der naiven Planung: {kosten_naiv - kosten_opt:,.0f} EUR \"\n", " f\"({(kosten_naiv/kosten_opt - 1)*100:.1f} %)\")\n", " print(\"=\" * 88)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Zweistufige stochastische Programmierung\n", "\n", "`Stochastische_Optimierung.py`\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#!/usr/bin/env python3\n", "\n", "# Stochastische_Optimierung.py\n", "\"\"\"\n", "Kapitel Unsicherheit: Two-Stage Stochastic Programming mit CVXPY.\n", "\n", "Eigenschaften:\n", " * Die Analyse am Ende wird BERECHNET statt fest verdrahtet\n", " * Vergleich gegen drei Alternativen: Mittelwert, Worst Case, perfekte Voraussicht\n", " * Kennzahl EVPI (Wert perfekter Information) wird ausgewiesen\n", "\"\"\"\n", "\n", "import cvxpy as cp\n", "import numpy as np\n", "import pandas as pd\n", "\n", "SZENARIEN = [\"Ruhig\", \"Volatil\", \"Crash\"]\n", "WAHRSCHEINLICHKEIT = np.array([0.50, 0.30, 0.20])\n", "BEDARF = np.array([100.0, 250.0, 500.0])\n", "\n", "KOSTEN_VORAB = 40.0\n", "KOSTEN_SPOT = 120.0\n", "KOSTEN_LEERLAUF = 5.0\n", "\n", "S = len(SZENARIEN)\n", "\n", "\n", "def loese_stochastisch():\n", " \"\"\"Zweistufiges Modell: eine Vorabentscheidung, szenarioabhaengige Korrektur.\"\"\"\n", " x = cp.Variable(nonneg=True, name=\"Basiskapazitaet\") # Stufe 1\n", " y_spot = cp.Variable(S, nonneg=True, name=\"Spot_Zukauf\") # Stufe 2\n", " y_leer = cp.Variable(S, nonneg=True, name=\"Leerlauf\") # Stufe 2\n", "\n", " # Kopplung: Basis + Zukauf - Leerlauf == Bedarf (je Szenario)\n", " nebenbedingungen = [x + y_spot[s] - y_leer[s] == BEDARF[s] for s in range(S)]\n", "\n", " erwartete_korrektur = sum(\n", " WAHRSCHEINLICHKEIT[s] * (KOSTEN_SPOT * y_spot[s] + KOSTEN_LEERLAUF * y_leer[s])\n", " for s in range(S))\n", "\n", " problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN_VORAB * x + erwartete_korrektur),\n", " nebenbedingungen)\n", " problem.solve()\n", " return problem, x, y_spot, y_leer\n", "\n", "\n", "def kosten_bei(kapazitaet):\n", " \"\"\"Erwartete Gesamtkosten fuer eine fest vorgegebene Kapazitaet.\"\"\"\n", " unter = np.maximum(BEDARF - kapazitaet, 0.0)\n", " ueber = np.maximum(kapazitaet - BEDARF, 0.0)\n", " je_szenario = KOSTEN_VORAB * kapazitaet + KOSTEN_SPOT * unter + KOSTEN_LEERLAUF * ueber\n", " return float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ je_szenario)\n", "\n", "\n", "if __name__ == \"__main__\":\n", " problem, x, y_spot, y_leer = loese_stochastisch()\n", " kapazitaet = float(x.value)\n", " mittelwert = float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ BEDARF)\n", "\n", " print(\"=\" * 82)\n", " print(\" STOCHASTISCHE TWO-STAGE OPTIMIERUNG (KAPAZITAETSPLANUNG)\")\n", " print(\"=\" * 82)\n", " print(f\"Status: {problem.status}\")\n", " print(f\"Erwarteter Bedarf (Mittelwert): {mittelwert:.1f} Einheiten\")\n", " print(f\"Optimale Stufe-1-Kapazitaet x*: {kapazitaet:.1f} Einheiten\")\n", " print(f\"Minimale erwartete Gesamtkosten: {problem.value:,.2f} EUR\\n\")\n", "\n", " tabelle = pd.DataFrame({\n", " \"Szenario\": SZENARIEN,\n", " \"Wahrsch.\": [f\"{p*100:.0f} %\" for p in WAHRSCHEINLICHKEIT],\n", " \"Bedarf\": BEDARF,\n", " \"Basis genutzt\": [min(kapazitaet, b) for b in BEDARF],\n", " \"Spot-Zukauf\": np.round(y_spot.value, 1),\n", " \"Leerlauf\": np.round(y_leer.value, 1),\n", " \"Kosten (EUR)\": [f\"{KOSTEN_VORAB*kapazitaet + KOSTEN_SPOT*y_spot.value[s] + KOSTEN_LEERLAUF*y_leer.value[s]:,.0f}\"\n", " for s in range(S)],\n", " })\n", " print(tabelle.to_string(index=False))\n", "\n", " # --- Vergleich mit Alternativstrategien (berechnet, nicht behauptet) --\n", " print(\"\\n\" + \"-\" * 82)\n", " print(\"Vergleich verschiedener Planungsstrategien:\")\n", " print(f\"{'Strategie':<34} {'Kapazitaet':>11} {'Erw. Kosten':>14} {'Mehrkosten':>13}\")\n", " print(\"-\" * 82)\n", "\n", " optimal = problem.value\n", " strategien = [\n", " (\"Stochastisch optimal\", kapazitaet),\n", " (\"Naiv: Mittelwert einsetzen\", mittelwert),\n", " (\"Vorsichtig: Worst Case abdecken\", float(BEDARF.max())),\n", " (\"Optimistisch: Bestfall\", float(BEDARF.min())),\n", " ]\n", " for name, kap in strategien:\n", " kosten = kosten_bei(kap)\n", " print(f\"{name:<34} {kap:>11.1f} {kosten:>14,.0f} \"\n", " f\"{kosten - optimal:>+13,.0f}\")\n", "\n", " # --- EVPI: Was waere perfekte Voraussicht wert? ----------------------\n", " # Bei perfekter Information wuerde man je Szenario genau den Bedarf kaufen.\n", " kosten_perfekt = float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ (KOSTEN_VORAB * BEDARF))\n", " evpi = optimal - kosten_perfekt\n", " print(\"-\" * 82)\n", " print(f\"Kosten bei perfekter Voraussicht: {kosten_perfekt:>10,.0f} EUR\")\n", " print(f\"Wert perfekter Information (EVPI): {evpi:>10,.0f} EUR \"\n", " f\"({evpi/optimal*100:.1f} % der Kosten)\")\n", " print(\" -> So viel duerfte eine perfekte Bedarfsprognose hoechstens kosten.\")\n", "\n", " # --- Automatische Interpretation --------------------------------------\n", " print(\"-\" * 82)\n", " if kapazitaet > mittelwert + 1e-6:\n", " print(f\"Analyse: Der Solver waehlt {kapazitaet:.0f} Einheiten und damit MEHR als\")\n", " print(f\"den Mittelwert ({mittelwert:.0f}), weil Unterdeckung ({KOSTEN_SPOT:.0f} EUR)\")\n", " print(f\"deutlich teurer ist als Leerlauf ({KOSTEN_LEERLAUF:.0f} EUR).\")\n", " elif kapazitaet < mittelwert - 1e-6:\n", " print(f\"Analyse: Der Solver waehlt {kapazitaet:.0f} und damit WENIGER als den\")\n", " print(f\"Mittelwert ({mittelwert:.0f}) - Leerlauf ist hier teurer als Zukauf.\")\n", " else:\n", " print(\"Analyse: Kapazitaet entspricht dem Mittelwert (symmetrische Kosten).\")\n", " print(\"=\" * 82)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Robuste Optimierung{idx:Robuste Optimierung}: gegen den Worst Case absichern\n", "\n", "`Robuste_Optimierung.py`\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#!/usr/bin/env python3\n", "\n", "# Robuste_Optimierung.py\n", "\"\"\"\n", "Kapitel Unsicherheit: Robuste Portfolio-Optimierung.\n", "\n", "Vergleicht drei Haltungen zur Unsicherheit:\n", " (a) nominal - vertraut den Punktschaetzungen blind\n", " (b) robust - sichert gegen Box-Unsicherheit ab (Worst Case)\n", " (c) stochastisch - optimiert den Erwartungswert ueber Szenarien\n", "\n", "und misst den \"Preis der Robustheit\": Wie viel Ertrag kostet die Absicherung\n", "im Normalfall - und wie viel Verlust erspart sie im Ernstfall?\n", "\"\"\"\n", "\n", "import cvxpy as cp\n", "import numpy as np\n", "\n", "ASSETS = [\"Aktien Welt\", \"Anleihen\", \"Rohstoffe\", \"Immobilien\"]\n", "MU_SCHAETZUNG = np.array([0.085, 0.030, 0.055, 0.060]) # Punktschaetzung\n", "UNSICHERHEIT = np.array([0.040, 0.008, 0.045, 0.025]) # +/- delta je Titel\n", "VOLA = np.array([0.17, 0.05, 0.22, 0.12])\n", "KORR = np.array([\n", " [1.00, -0.15, 0.35, 0.55],\n", " [-0.15, 1.00, -0.05, 0.10],\n", " [0.35, -0.05, 1.00, 0.25],\n", " [0.55, 0.10, 0.25, 1.00],\n", "])\n", "SIGMA = np.diag(VOLA) @ KORR @ np.diag(VOLA)\n", "LAMBDA = 4.0 # Risikoaversion\n", "N = len(ASSETS)\n", "\n", "\n", "def optimiere(mu_effektiv):\n", " \"\"\"Standard-Mean-Variance mit vorgegebenem Renditevektor.\"\"\"\n", " w = cp.Variable(N, nonneg=True)\n", " ziel = cp.Maximize(mu_effektiv @ w - 0.5 * LAMBDA * cp.quad_form(w, SIGMA))\n", " problem = cp.Problem(ziel, [cp.sum(w) == 1])\n", " problem.solve()\n", " return w.value\n", "\n", "\n", "def kennzahlen(w, mu):\n", " ertrag = float(mu @ w)\n", " risiko = float(np.sqrt(w @ SIGMA @ w))\n", " return ertrag, risiko\n", "\n", "\n", "if __name__ == \"__main__\":\n", " print(\"=\" * 88)\n", " print(\" ROBUSTE vs. NOMINALE PORTFOLIO-OPTIMIERUNG\")\n", " print(\"=\" * 88)\n", " print(f\"{'Asset':<14} {'Erw. Rendite':>14} {'Unsicherheit':>14} \"\n", " f\"{'Worst Case':>12} {'Volatilitaet':>13}\")\n", " print(\"-\" * 88)\n", " for i, name in enumerate(ASSETS):\n", " print(f\"{name:<14} {MU_SCHAETZUNG[i]*100:>13.1f} % \"\n", " f\"{'+/- ' + format(UNSICHERHEIT[i]*100, '.1f') + ' %':>14} \"\n", " f\"{(MU_SCHAETZUNG[i]-UNSICHERHEIT[i])*100:>11.1f} % \"\n", " f\"{VOLA[i]*100:>12.1f} %\")\n", "\n", " # (a) nominal: vertraut den Schaetzungen\n", " w_nominal = optimiere(MU_SCHAETZUNG)\n", " # (b) robust: rechnet mit dem Worst Case der Box-Unsicherheitsmenge\n", " w_robust = optimiere(MU_SCHAETZUNG - UNSICHERHEIT)\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n", " print(f\"{'':<14} {'nominal':>22} {'robust':>22}\")\n", " print(\"-\" * 88)\n", " for i, name in enumerate(ASSETS):\n", " print(f\"{name:<14} {w_nominal[i]*100:>21.1f} % {w_robust[i]*100:>21.1f} %\")\n", "\n", " # --- Bewertung in beiden Welten --------------------------------------\n", " mu_worst = MU_SCHAETZUNG - UNSICHERHEIT\n", " e_nom_gut, r_nom = kennzahlen(w_nominal, MU_SCHAETZUNG)\n", " e_rob_gut, r_rob = kennzahlen(w_robust, MU_SCHAETZUNG)\n", " e_nom_schlecht, _ = kennzahlen(w_nominal, mu_worst)\n", " e_rob_schlecht, _ = kennzahlen(w_robust, mu_worst)\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n", " print(f\"{'Bewertung':<34} {'nominales Portfolio':>22} {'robustes Portfolio':>22}\")\n", " print(\"-\" * 88)\n", " print(f\"{'Ertrag, wenn Schaetzung stimmt':<34} {e_nom_gut*100:>21.2f} % \"\n", " f\"{e_rob_gut*100:>21.2f} %\")\n", " print(f\"{'Ertrag im Worst Case':<34} {e_nom_schlecht*100:>21.2f} % \"\n", " f\"{e_rob_schlecht*100:>21.2f} %\")\n", " print(f\"{'Volatilitaet':<34} {r_nom*100:>21.2f} % {r_rob*100:>21.2f} %\")\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n", " print(f\"Preis der Robustheit (Ertragsverzicht im Normalfall): \"\n", " f\"{(e_nom_gut - e_rob_gut)*100:+.2f} Prozentpunkte\")\n", " print(f\"Nutzen der Robustheit (Vorteil im Worst Case): \"\n", " f\"{(e_rob_schlecht - e_nom_schlecht)*100:+.2f} Prozentpunkte\")\n", " verhaeltnis = ((e_rob_schlecht - e_nom_schlecht)\n", " / max(e_nom_gut - e_rob_gut, 1e-9))\n", " print(f\"Verhaeltnis Nutzen/Preis: {verhaeltnis:.2f}\")\n", " print(\" -> Werte > 1 bedeuten: Die Absicherung bringt im Ernstfall mehr,\")\n", " print(\" als sie im Normalfall kostet.\")\n", " print(\"=\" * 88)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Der Fall: ein Kraftwerkspark mit 500 MW Zusage\n", "\n", "`Chance_Constraints.py`\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#!/usr/bin/env python3\n", "\n", "# Chance_Constraints.py\n", "\"\"\"\n", "Kapitel Unsicherheit: Wahrscheinlichkeitsbeschraenkungen.\n", "\n", "Das Management fragt selten \"was ist im Mittel am besten?\", sondern \"mit\n", "welcher Sicherheit haelt der Plan?\". Genau das formuliert eine Chance\n", "Constraint: P(Versorgung >= Bedarf) >= 1 - alpha.\n", "\n", "Gezeigt werden beide Wege dorthin, an derselben Instanz:\n", " (a) analytisch - unter Normalverteilungsannahme wird daraus eine\n", " Second-Order-Cone-Bedingung, loesbar mit CVXPY\n", " (b) szenariobasiert - Big-M mit Binaervariablen, fuer beliebige\n", " empirische Verteilungen\n", "\n", "Und die beiden Messungen, auf die es ankommt: Was kostet ein Prozentpunkt\n", "Versorgungssicherheit - und haelt die Zusage auch dann, wenn die Verteilung\n", "nicht normal ist?\n", "\n", "Solver: CLARABEL (Kegel) und SciPy/HiGHS (gemischt-ganzzahlig). Weder ortools\n", "noch ein direkter highspy-Import, damit alles in einem Prozess laeuft.\n", "\"\"\"\n", "\n", "import cvxpy as cp\n", "import numpy as np\n", "from scipy.stats import norm\n", "\n", "# --- Der Kraftwerkspark ----------------------------------------------------\n", "# Die Verfuegbarkeit ist der Anteil, den eine installierte MW im Mittel\n", "# wirklich liefert: bei Wind und Sonne klein und stark schwankend, bei Gas und\n", "# Biomasse gross und stabil. Die Ausbaugrenze ist der Standort - Flaeche,\n", "# Genehmigung, Brennstoffversorgung.\n", "TECHNIK = [\"Gaskraftwerk\", \"Windpark\", \"Solarpark\", \"Biomasse\"]\n", "KOSTEN = np.array([65_000.0, 24_000.0, 12_000.0, 60_000.0]) # EUR je MW und Jahr\n", "VERFUEGBAR = np.array([0.92, 0.35, 0.18, 0.85])\n", "STREUUNG = np.array([0.05, 0.16, 0.10, 0.04])\n", "GRENZE = np.array([400.0, 250.0, 600.0, 350.0]) # MW\n", "\n", "# Wind und Sonne sind leicht gegenlaeufig: Ein Tiefdruckgebiet bringt Wind und\n", "# Wolken zugleich. Genau diese Korrelation macht die Bedingung zu einem Kegel\n", "# und nicht zu einer Summe unabhaengiger Einzelzuschlaege.\n", "KORRELATION = np.array([\n", " [1.00, 0.00, 0.00, 0.05],\n", " [0.00, 1.00, -0.25, 0.00],\n", " [0.00, -0.25, 1.00, 0.00],\n", " [0.05, 0.00, 0.00, 1.00],\n", "])\n", "SIGMA = np.diag(STREUUNG) @ KORRELATION @ np.diag(STREUUNG)\n", "WURZEL = np.linalg.cholesky(SIGMA) # L mit L @ L.T == SIGMA\n", "\n", "BEDARF = 500.0 # MW, die gesichert bereitstehen muessen\n", "N = len(TECHNIK)\n", "\n", "# Die Kaeltewelle mit Dunkelflaute: selten, aber sie trifft alles zugleich.\n", "# Wind und Sonne brechen fast vollstaendig weg - und, das ist der Punkt, das\n", "# Gaskraftwerk liefert ebenfalls weniger, weil bei Frost der Netzdruck faellt.\n", "# Eine Kovarianzmatrix mit Korrelationen um null kann das nicht ausdruecken.\n", "P_KAELTEWELLE = 0.08\n", "EINBRUCH = np.array([0.72, 0.10, 0.15, 0.88])\n", "\n", "\n", "def mittelwertplan():\n", " \"\"\"Plant mit den Erwartungswerten - ignoriert die Streuung vollstaendig.\"\"\"\n", " x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n", " problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN @ x),\n", " [VERFUEGBAR @ x >= BEDARF, x <= GRENZE])\n", " problem.solve(solver=cp.CLARABEL)\n", " return problem.value, x.value\n", "\n", "\n", "def chance_constraint_analytisch(alpha):\n", " \"\"\"\n", " P(a^T x >= BEDARF) >= 1 - alpha unter a ~ N(VERFUEGBAR, SIGMA).\n", "\n", " Aequivalent zu: VERFUEGBAR^T x - z * ||L^T x||_2 >= BEDARF\n", " mit z = Phi^-1(1 - alpha). Das ist eine Second-Order-Cone-Bedingung: Der\n", " Sicherheitszuschlag ist eine Norm ueber x, kein fester Aufschlag je Anlage.\n", " Deshalb belohnt sie Mischung - zwei gegenlaeufige Quellen schwanken\n", " gemeinsam weniger als jede fuer sich.\n", " \"\"\"\n", " x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n", " z = norm.ppf(1 - alpha)\n", " bedingung = VERFUEGBAR @ x - z * cp.norm(WURZEL.T @ x, 2) >= BEDARF\n", " problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN @ x), [bedingung, x <= GRENZE])\n", " problem.solve(solver=cp.CLARABEL)\n", " return problem.value, x.value\n", "\n", "\n", "def chance_constraint_szenarien(a, alpha):\n", " \"\"\"\n", " Dieselbe Zusage ohne Verteilungsannahme: Fuer jedes Szenario s sagt eine\n", " Binaervariable z_s, ob es verletzt werden darf.\n", "\n", " a_s^T x >= BEDARF - M * z_s fuer alle s\n", " sum_s z_s <= alpha * S\n", "\n", " M = BEDARF ist die kleinstmoegliche gueltige Schranke, denn a_s^T x >= 0:\n", " Groesser kann eine Verletzung gar nicht ausfallen. Ein unnoetig grosses M\n", " wuerde die LP-Relaxierung aufweichen und die Suche verlangsamen - die\n", " Big-M-Falle aus dem Kapitel Gemischt-ganzzahlige Optimierung.\n", " \"\"\"\n", " S = len(a)\n", " x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n", " z = cp.Variable(S, boolean=True)\n", " problem = cp.Problem(\n", " cp.Minimize(KOSTEN @ x),\n", " [a @ x >= BEDARF - BEDARF * z, cp.sum(z) <= alpha * S, x <= GRENZE])\n", " problem.solve(solver=cp.SCIPY)\n", " return problem.value, x.value\n", "\n", "\n", "def ziehe_wetter(anzahl, seed):\n", " \"\"\"Mischverteilung: normales Wetter, mit P_KAELTEWELLE ein Einbruch.\"\"\"\n", " rng = np.random.default_rng(seed)\n", " a = rng.multivariate_normal(VERFUEGBAR, SIGMA, size=anzahl)\n", " getroffen = rng.random(anzahl) < P_KAELTEWELLE\n", " a[getroffen] *= EINBRUCH\n", " return np.clip(a, 0.0, 1.0)\n", "\n", "\n", "def sicherheit(x, a):\n", " \"\"\"Anteil der Szenarien, in denen der Plan den Bedarf deckt.\"\"\"\n", " return float(np.mean(a @ x >= BEDARF))\n", "\n", "\n", "KOPF = (f\"{'Plan':<20} {'Kosten (EUR)':>13} {'Gas':>4} {'Wind':>4} \"\n", " f\"{'Sol':>4} {'Bio':>4} {'Normalwelt':>11} {'echte Welt':>11}\")\n", "\n", "\n", "def zeile(name, kosten, x, in_normal, in_echt):\n", " mix = \" \".join(f\"{w:4.0f}\" for w in x)\n", " return (f\"{name:<20} {kosten:>13,.0f} {mix} \"\n", " f\"{in_normal * 100:>9.2f} % {in_echt * 100:>9.2f} %\")\n", "\n", "\n", "if __name__ == \"__main__\":\n", " print(\"=\" * 78)\n", " print(\" WAHRSCHEINLICHKEITSBESCHRAENKUNGEN IM KRAFTWERKSPARK\")\n", " print(\"=\" * 78)\n", " print(f\"Gesichert bereitzustellen: {BEDARF:.0f} MW\\n\")\n", " print(f\"{'Technologie':<14} {'EUR/MW':>8} {'verfuegbar':>11} {'Streuung':>9} \"\n", " f\"{'Grenze':>8} {'EUR je erw. MW':>15}\")\n", " print(\"-\" * 78)\n", " for i, name in enumerate(TECHNIK):\n", " print(f\"{name:<14} {KOSTEN[i]:>8,.0f} {VERFUEGBAR[i]:>10.2f} \"\n", " f\"{STREUUNG[i]:>8.2f} {GRENZE[i]:>7.0f} \"\n", " f\"{KOSTEN[i] / VERFUEGBAR[i]:>15,.0f}\")\n", " print(f\"\\nVollausbau liefert im Mittel {VERFUEGBAR @ GRENZE:.0f} MW, \"\n", " f\"in der Kaeltewelle {(VERFUEGBAR * EINBRUCH) @ GRENZE:.0f} MW.\")\n", "\n", " # Zwei grosse, unabhaengige Testmengen. An ihnen wird JEDER Plan gemessen -\n", " # einmal in der unterstellten Normalwelt, einmal in der echten Verteilung.\n", " echt = ziehe_wetter(200_000, seed=771)\n", " normalwelt = np.random.default_rng(4711).multivariate_normal(\n", " VERFUEGBAR, SIGMA, size=200_000)\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n", " print(\" (1) Mittelwertplan und Chance Constraints im Vergleich\")\n", " print(\"=\" * 78)\n", " print(KOPF)\n", " print(\"-\" * 78)\n", "\n", " k_mittel, x_mittel = mittelwertplan()\n", " stufen = [(\"Mittelwert\", k_mittel, sicherheit(x_mittel, normalwelt))]\n", " print(zeile(\"Mittelwert\", k_mittel, x_mittel,\n", " sicherheit(x_mittel, normalwelt), sicherheit(x_mittel, echt)))\n", "\n", " plaene = {}\n", " for alpha in (0.20, 0.10, 0.05, 0.01):\n", " kosten, x = chance_constraint_analytisch(alpha)\n", " plaene[alpha] = (kosten, x)\n", " quote_normal = sicherheit(x, normalwelt)\n", " stufen.append((f\"Zusage {(1 - alpha) * 100:.0f} %\", kosten, quote_normal))\n", " print(zeile(f\"Zusage {(1 - alpha) * 100:.0f} %\", kosten, x,\n", " quote_normal, sicherheit(x, echt)))\n", "\n", " print(\"\\n In der Normalwelt trifft jede Zusage ihren Wert - das Verfahren\")\n", " print(\" rechnet richtig. Die Spalte 'echte Welt' kommt in Teil (3).\")\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n", " print(\" (2) Was kostet ein Prozentpunkt Versorgungssicherheit?\")\n", " print(\"=\" * 78)\n", " print(f\"{'von -> nach':<26} {'Prozentpunkte':>13} {'Mehrkosten':>13} \"\n", " f\"{'EUR je Punkt':>13}\")\n", " print(\"-\" * 78)\n", " for (n1, k1, q1), (n2, k2, q2) in zip(stufen, stufen[1:]):\n", " d_punkte = (q2 - q1) * 100\n", " d_kosten = k2 - k1\n", " print(f\"{n1 + ' -> ' + n2:<26} {d_punkte:>13.2f} {d_kosten:>13,.0f} \"\n", " f\"{d_kosten / d_punkte:>13,.0f}\")\n", " erst = (stufen[1][1] - stufen[0][1]) / ((stufen[1][2] - stufen[0][2]) * 100)\n", " letzt = (stufen[-1][1] - stufen[-2][1]) / ((stufen[-1][2] - stufen[-2][2]) * 100)\n", " print(f\"\\n Der letzte Prozentpunkt kostet das {letzt / erst:.1f}-fache des ersten.\")\n", " print(\" Sicherheit ist konvex bepreist - genau deshalb muss jemand\")\n", " print(\" entscheiden, wie viel davon das Unternehmen kaufen will.\")\n", "\n", " print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n", " print(\" (3) Und wenn die Verteilung nicht normal ist?\")\n", " print(\"=\" * 78)\n", " k_soc, x_soc = plaene[0.05]\n", " print(f\"Die echte Welt kennt die Kaeltewelle mit Dunkelflaute: in \"\n", " f\"{P_KAELTEWELLE * 100:.0f} % der Faelle liefern\")\n", " print(f\"Wind {EINBRUCH[1] * 100:.0f} %, Sonne {EINBRUCH[2] * 100:.0f} % \"\n", " f\"und - entscheidend - auch das Gaskraftwerk nur \"\n", " f\"{EINBRUCH[0] * 100:.0f} %\")\n", " print(\"des Ueblichen. Alles bricht gleichzeitig ein.\\n\")\n", "\n", " a_bau = ziehe_wetter(400, seed=20260908)\n", " k_sz, x_sz = chance_constraint_szenarien(a_bau, 0.05)\n", "\n", " print(KOPF)\n", " print(\"-\" * 78)\n", " print(zeile(\"SOC, Zusage 95 %\", k_soc, x_soc,\n", " sicherheit(x_soc, normalwelt), sicherheit(x_soc, echt)))\n", " print(zeile(\"Szenarien, 95 %\", k_sz, x_sz,\n", " sicherheit(x_sz, normalwelt), sicherheit(x_sz, echt)))\n", "\n", " print(f\"\\n Der SOC-Plan verspricht 95 % und haelt \"\n", " f\"{sicherheit(x_soc, echt) * 100:.1f} %. Nicht das Verfahren ist\")\n", " print(f\" falsch, sondern die Annahme: In der Normalwelt liefert derselbe\")\n", " print(f\" Plan {sicherheit(x_soc, normalwelt) * 100:.1f} %.\")\n", " print(f\"\\n Der Szenarioplan ({len(a_bau)} Szenarien, {len(a_bau)} \"\n", " f\"Binaervariablen) kommt auf\")\n", " print(f\" {sicherheit(x_sz, echt) * 100:.1f} % - und kostet dafuer \"\n", " f\"{(k_sz / k_soc - 1) * 100:+.1f} %. Er kauft keine Windkraft mehr:\")\n", " print(\" Was im Ernstfall ausfaellt, hilft der Zusage nicht.\")\n", " print(\"=\" * 78)" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "name": "python", "version": "3.11" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }